Sifat - Sifat Relasi dan Fungsi

Ada 5 sifat relasi pada Matematika :



1. Sifat Reflektif


Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk p € P berlaku (p,p) €  R.


Contoh :
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}, dan relasi Radalah relasi ‘≤’ yang didefinisikan pada himpunan A, maka


R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}


Terlihat bahwa (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) merupakan unsur dari R. Dengan demikian R dinamakan bersifat refleksif.


Sifat refleksif memberi beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu :


• Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang unsur diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n,


• Relasi yang bersifat refleksif jika disajikan dalam bentuk graf berarah maka pada graf tersebut senantiasa ditemukan loop setiap simpulnya.


2. Sifat Simetris


Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x,y) € R berlaku (y,x) €  R.


Misalkan, R merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari himpunan B ke himpunan A yang didefinisikan oleh :


R–1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R }


Contoh :


Misalkan P = {2, 3, 4} dan Q = {2, 4, 8, 9, 15}.


Jika didefinisikan relasi R dari P ke Qyaitu :


(p, q) ∈ R jika dan hanya jika p habis membagi q


maka kita peroleh :


R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)


R–1 merupakan invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P yang berbentuk :


(q, p) ∈ R–1 jika q adalah kelipatan dari p


sehingga diperoleh :


R–1 = {(2, 2), (4, 2), (4, 4), (8, 2), (8, 4), (9, 3), (15, 3) }


Jika M adalah matriks yang menyajikan suatu relasi R, maka matriks yang merepresentasikan relasi R–1, misalkanN, diperoleh dengan melakukan transposeterhadap matriks M,



3. Sifat Transitif


Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat Transitif, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,z) € R maka berlaku (x,z) € R.


Contoh :


R merupakan relasi pada himpunan bilangan asli N yang didefinisikan oleh :


R : a + b = 5, a, b ∈ A,


Dengan memperhatikan definisi relasi Rpada himpunan A, maka :


R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }


Perhatika bawa (1, 4) ∈ R dan (4, 1) ∈ R , tetapi (1, 1) ∉ R.


Dengan demikian R tidak bersifat transitif.


Sifat transitif memberikan beberapa ciri khas dalam penyajian suatu relasi, yaitu : sifat transitif pada graf berarah ditunjukkan oleh :


Jika ada busur dari a ke b dan busur dari bke c, maka juga terdapat busur


berarah dari a ke c.


Pada saat menyajikan suatu relasi transitif dalam bentuk matriks, relasi transitif tidak mempunyai ciri khusus pada matriks representasinya

4. Sifat Antisimetris


Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,x) € R berlaku x=y.


Contoh : Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b) € a kelipatan b, ab € C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.


5. Sifat Ekuivalensi


Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif.


Contoh : Dibmerupakan relasi ekivalensierikan himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,1),(3,3)}. Relasi R tersebut bersifat refleksif, simetris din transitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekivalensi.




Sumber:

http://tugasekol.blogspot.com/2014/11/sebutkan-5-sifat-sifat-relasi-dan-contohnya.html?m=1


https://www.google.com/amp/s/bersitrahmayang.wordpress.com/2010/11/26/sifat-sifat-relasi/amp/